viernes, 25 de abril de 2014

LEY DE BERNOULLI

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.
Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

$\frac{V^2 \rho}{2}+{P}+{\rho g z}=constante$

donde:

$V$ = velocidad del fluido en la sección considerada.
$g$ = aceleración gravitatoria
$z$ = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.
$P$ = presión a lo largo de la línea de corriente.
$ρ$ = densidad del fluido.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.
Caudal constante
Flujo incompresible, donde ρ es constante.
La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo irrotacional

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.

Contenido

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Características y consecuencias

Cada uno de los términos de esta ecuación tienen unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del inglés hydraulic head; el término

z

se suele agrupar con

P / γ

para dar lugar a la llamada altura piezométrica o también carga piezométrica.

$\overbrace{{V^2 \over 2 g}}^{\mbox{cabezal de velocidad}}+\overbrace{\underbrace{\frac{P}{\gamma}}_{\mbox{cabezal de presión}} + z}^{\mbox{altura o carga piezométrica}} = \overbrace{H}^{\mbox{Cabezal o Altura hidráulica}}$

También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por

γ

, de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

Esquema del efecto Venturi.

$\underbrace{\frac{\rho V^2}{2}}_{\mbox{presión dinámica}}+\overbrace{P+ \gamma z}^{\mbox{presión estática}}=constante$

o escrita de otra manera más sencilla:

q + p = p 0

donde

$q=\frac{\rho V^2}{2}$
$p = P + γ z$
$p 0$ es una constante-

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

$\overbrace{\frac{{V}^2}{2}}^{\mbox{energía cinética}}+\underbrace{\frac{P}{\rho}}_{\mbox{energía de flujo}}+\overbrace{g z}^{\mbox{energía potencial}} = constante$

Así el principio de bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía, es decir, en una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica porqué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

El Principio de Bernoulli

El Principio de Bernoulli
A estos efectos es de aplicación el Principio de Bernoulli, que no es sino la formulación, a lo largo de una línea de flujo, de la Ley de conservación de la energía. Para un fluido ideal, sin rozamiento, se expresa $h + \frac{v^2}{2g} + \frac{P}{\rho g} = constante$ , donde

Se aprecia que los tres sumandos son, dimensionalmente, una longitud (o altura), por lo que el Principio normalmente se expresa enunciando que, a lo largo de una línea de corriente la suma de la altura geométrica, la altura de velocidad y la altura de presión se mantiene constante.
Cuando el fluido es real, para circular entre dos secciones de la conducción deberá vencer las resistencias debidas al rozamiento con las paredes interiores de la tubería, así como las que puedan producirse al atravesar zonas especiales como válvulas, ensanchamientos, codos, etc. Para vencer estas resistencias deberá emplear o perder una cierta cantidad de energía o, con la terminología derivada del Principio de Bernoulli de altura, que ahora se puede formular, entre las secciones 1 y 2:
$h_1 + \frac{v_1^2}{2g} + \frac{P_1}{\rho g} = h_2 + \frac{v_2^2}{2g} + \frac{P_2}{\rho g}+ perdidas(1,2)$ , o lo que es igual
$(h_1-h_2) + \frac{(v_1^2-v_2^2)}{2g}+ \frac{(P_1-P_2)}{\rho g}= perdidas(1,2)$ ,

Donde pérdidas (1,2) representa el sumando de las pérdidas continuas (por rozamiento contra las paredes) y las localizadas (al atravesar secciones especiales)

Pérdidas continuas

Las pérdidas por rozamientos son función de la rugosidad del conducto, de la viscosidad del fluido, del régimen de funcionamiento (flujo laminar o flujo turbulento) y del caudal circulante, es decir de la velocidad (a más velocidad, más pérdidas).
Si es L la distancia entre los puntos 1 y 2 (medidos a lo largo de la conducción), entonces el coeficiente (pérdidas (1,2)) / L representa la pérdida de altura por unidad de longitud de la conducción se le llama pendiente de la línea de energía. Denominemosla J
Cuando el flujo es turbulento (número de Reynolds superior a 4.000; 2000<Re< 4000 es el flujo de transición; Re<2000 flujo laminar), lo que ocurre en la práctica totalidad de los casos, existen varias fórmulas, tanto teóricas (Ecuación de Darcy-Weisbach), como experimentales (ecuación de Hazen-Williams, ecuación de Manning, etc), que relacionan la pendiente de la línea de energía con la velocidad de circulación del fluido. Quizás la más sencilla y más utilizada sea la fórmula de Manning:
$V = K . R_h^{2/3} . J^{0,5}$

V = velocidad del agua (m/s)
K = coeficiente de rugosidad, depende del material de la tubería y del estado de esta. Existen varias expresiones para este coeficiente calculados en forma experimental por varios investigadores como: Manning; Bazin; Kutter; Strickler, entre otros.
R_h = radio hidráulico de la sección = Área mojada / Perímetro mojado (un cuarto del diámetro para conductos circulares a sección llena) (m)
J = gradiente de energía (m/m)

Pérdidas localizadas

En el caso de que entre las dos secciones de aplicación del Principio de Bernoulli existan puntos en los que la línea de energía sufra pérdidas localizadas (salidas de depósito, codos, cambios bruscos de diámetro, válvulas, etc), las correspondientes pérdidas de altura se suman a las correspondientes por rozamiento. En general, todas las pérdidas localizadas son solamente función de la velocidad, viniendo ajustadas mediante expresiones experimentales del tipo:

$pl = K * \frac{v^2}{2g}$
donde pl es la pérdida localizada
Los coeficientes K se encuentran tabulados en la literatura técnica especializada, o deben ser proporcionados por los fabricantes de piezas para conducciones.

Proceso de cálculo

En el diseño y cálculo práctico de conducciones de agua, se parte de que la geometría de la conducción, es decir las alturas geométricas h, son conocidas. Se hace coincidir la primera sección de cálculo con un punto en que las condiciones de velocidad y presión son también conocidas, por ejemplo la lámina de un depósito (presión nula sobre la presión atmosférica y velocidad nula).
Conocida la presión o la velocidad en cualquier otro punto de la conducción (por ejemplo en un punto de toma, presión nula), aplicando los conceptos expuestos se puede determinar la velocidad y consecuentemente el caudal.
Por supuesto el proceso es iterativo. Inicialmente se supone que el conjunto de pérdidas localizadas (sumatorio de coeficientes K) es nulo, con lo que se determina una velocidad inicial de circulación V0. A partir de esta velocidad se introducen las pérdidas localizadas, obteniendo V1 y así sucesivamente, hasta que (Vi - Vj) de las dos últimas iteraciones sea tan pequeño como se desee. Normalmente se obtiene convergencia suficiente con un par de iteraciones.

Ejemplo de aplicación práctica

Sea el sistema hidráulico de la figura compuesto por los siguientes elementos:

Depósito de cabecera (1), cuya lámina de agua se supone constante, y a cota +70,00
Depósito de cola (3), mismas condiciones, cota +20,00
Conducción de unión, PVC, diámetro 300, longitud entre los depósitos 2.000 m
Punto bajo en esta conducción, situado a 1.500 m del depósito de cabecera, a cota 0,00. Existe una toma con válvula por donde se puede derivar caudal.

En estas condiciones, despreciando las pérdidas localizadas, y admitiendo que para el PVC el factor (1/n) en la fórmula de Manning vale 100, determinar.

Con la válvula de toma en el punto bajo cerrada, el caudal que fluye del depósito de cabecera al de cola.
Determinar el máximo valor del caudal que puede evacuarse por el punto bajo (2) con la condición de que del depósito (3) no entre ni salga agua. En esta hipótesis, ¿cual es el valor de la presión en (2)?
Determinar el máximo caudal que puede evacuarse por la toma (2)

Primer caso

En la superficie de los depósitos P1=P3=0 (atmosférica). En esos puntos V1=V3=0 (se supone lámina de agua constante).
Entonces, la aplicación del Principio de Bernoulli al tramo 1-3 expresa: (h1-h3) = pérdidas(1,3) = 50 m
La pérdida por rozamiento J, resultará: J = 50 /2000 = 0,025 Aplicando Manning al conducto :

Q = V.S = 2,85.0,3^2.3,14/4 <> 0,201 m³/s <> 201 l/s

Segundo caso

La condición de que no haya flujo entre los puntos 2 y 3 implica que la energía total en ambos es la misma. Puesto que la energía total en (3) es 50 m, este será también el valor en (2)
La aplicación de Bernoulli al tramo 1-2 nos da: (70 - 0) + (0^2 - V2^2)/2g + (0 - P2)= Perdidas (1,2),
70-0 = 0 + V2^2/2g + P2 ; 1) V2^2/2g + P2 + Perdidas (1,2)=70 Por otra parte: En tramo 2-3 no hay perdidas ya que no hay trasferncia de agua, quedaria:
0+V2^2/2g + P2= 20 + 0 + 0; V2^2/2g + P2 = 20 sustituyendo en 1)

20+Perdidas (1,2)=70 ; Perdidas (1,2)= 70 - 20 = 50

De donde deducimos que las pérdidas en el tramo son de 50 m
La pérdida por rozamiento J, valdrá: J = 50 /1500 = 0,03333 Aplicando Manning al conducto :
V = (1/n). Rh^0,66 . J^0,5 <> 100 . 0,075^0,666 . 0,11547 <> 2,053 m/s, luego
Q = V.S = 2,053 . 0,3^2 . 3,14/4 <> 0,145 m³/s <> 145 l/s
Y la presión será:
P = 20 - 2,053^2/2*9,81 <> 19,78 mc.a; aprox 1,97 atm

Tercer caso

Ahora podrá existir flujo hacia (2), tanto desde (1) como desde (3). El caudal total será la suma del que se obtiene por cada rama.
La energía total en (2) en este caso será, puesto que P1 = P2 = P3 = 0, y h2=0, igual exclusivamente a la altura de velocidad. La despreciamos en una primera iteración.
Por el ramal 1-2; Pérdidas = 70 m, J = 70 /1500 = 0,04666, y
V = 100 . 0,075^0,666 . 0,216 <> 3,8418 m/s
Por el ramal 3-2; Pérdidas = 50 m, J = 50 / 500 = 0,1 , y
V = 100 . 0,075^0,666 . 0,316 <> 5,6239 m/s
y Q = (3,8418 + 5,6239) . 0,3^2 . 3,14/4 <> 0,670 m³/s <> 670 l/s.
Puesto que la velocidad del agua en la salida no es nula, sino (3,8418+5,6239)= 9,4657,
la energía en (2) para una segunda iteración valdría 9,4657^2 /2 . 9,81 <> 4,566 m, Repetiríamos el calculo (70 - 4,566) = 65,43 m en el ramal 1-2, y
(50 - 4,566) = 45,43 m en el ramal 3-2,
obteniéndose un caudal total ligeramente inferior al obtenido en la primera iteración

jueves, 24 de abril de 2014

PROBLEMA PROPUESTO (LEY DE CONTINUIDAD)

Hidrodinámica

Ley de continuidad

Por un tubo de diversas secciones (Al, A2) circulan en iguales lapsos los mismos volúmenes es decir mientras no se agregue líquido o se quite el caudal es constante. Esto significa que la velocidad del líquido aumenta cuando la sección disminuye porque se debe cumplir la ley de continuidad que dice que el producto de la sección efectiva de circulación del fluido por la velocidad es constante (Caudal) mientras no agregue ni quite fluido de la cañería por derivaciones.

Caudal = A1 V1 = A2.V2

Como A2 < A1 entonces V2 > V1

Relación de Diámetros ß = Ø2 / Ø1

Relación de Áreas ß²= A2 / A1

RESOLVER:

Si el caudal de fluido es de 10 gal/mi, el Ø₁= 40 mm y el Ø₂ = 20 mm, calcular V₁ y V₂ en m/s

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

La ecuación de continuidad
La conservación de la masa de fluido a través de dos secciones (sean éstas A₁ y A₂) de un conducto (tubería) o tubo de corriente establece que: la masa que entra es igual a la masa que sale.
Definición de tubo de corriente: superficie formada por las líneas de corriente.
Corolario 2: solo hay tubo de corriente si V es diferente de 0.
La ecuación de continuidad se puede expresar como:

ρ 1 . A 1 . V 1 = ρ 2 . A 2 . V 2

Cuando

ρ 1 = ρ 2

, que es el caso general tratándose de agua, y flujo en régimen permanente, se tiene:
$\ A_1 . V_1 = A_2 . V_2$
o de otra forma:
$\ Q_1 = Q_2$ (el caudal que entra es igual al que sale)
Donde:

Q = caudal $(m 3 / s)$
V = velocidad $(m / s)$
A = area transversal del tubo de corriente o conducto $(m 2)$

Que se cumple cuando entre dos secciones de la conducción no se acumula masa, es decir, siempre que el fluido sea incompresible y por lo tanto su densidad sea constante. Esta condición la satisfacen todos los líquidos y, particularmente, el agua.
En general la geometría del conducto es conocida, por lo que el problema se reduce a estimar la velocidad media del fluido en una sección dada.

LEY DE CONTINUIDAD

Ley de continuidad.

Se expresa en los siguientes términos: LA CANTIDAD DE LIQUIDO, O CAUDAL,
QUE CIRCULA POR LAS DISTINTAS SECCIONES DE UNA CONDUCCIÓN EN UN INSTANTE DADO,
ES SIEMPRE CONSTANTE.

Representación gráfica de la ley de continuidad.

Del enunciado anterior deducimos que,
LAS VELOCIDADES DEL LIQUIDO,

SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES
A LAS SECCIONES POR LAS QUE CIRCULA.

Tenemos: S₁ * v₁ = S₂ * v₂

o lo que es igual : S₁ / S₂ = v₂ / v₁

de donde, si S₁> S₂ ®

viernes, 18 de abril de 2014

CAUDALÍMETRO

Un caudalímetro es un instrumento de medida para la medición de caudal o gasto volumétrico de un fluido o para la medición del gasto másico. Estos aparatos suelen colocarse en línea con la tubería que transporta el fluido. También suelen llamarse medidores de caudal, medidores de flujo o flujómetros.

Existen versiones mecánicas y eléctricas. Un ejemplo de caudalímetro eléctrico lo podemos encontrar en los calentadores de agua de paso que lo utilizan para determinar el caudal que está circulando o en las lavadoras para llenar su tanque a diferentes niveles.

Un hidrómetro¹ permite medir el caudal, la velocidad o la fuerza de los líquidos que se encuentran en movimiento, dependiendo de la graduación y aplicación de este mismo.

Evítese la confusión con el término utilizado en inglés “hydrometer” como equivalente a lo que en español es un densímetro, esto es, un instrumento que sirve para medir la densidad de los líquidos.

CAUDAL

Caudal : en dinámica de fluidos, caudal es la cantidad de fluido que avanza en una unidad de tiempo. Se denomina también "Caudal volumétrico" o "Índice de flujo fluido".

Asociado al término anterior:

Caudalímetro: Instrumento empleado para la medición del caudal de un fluido o gasto másico

Caudal (fluido)

En dinámica de fluidos, caudal es la cantidad de fluido que pasa en una unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo másico o masa que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
El caudal de un río puede calcularse a través de la siguiente fórmula:

$Q=A\,\bar{v}$

donde

$Q$ Caudal ([L³T⁻¹]; m³/s)
$A$ Es el área ([L²]; m²)
$\bar{v}$ Es la velocidad lineal promedio. ([LT⁻¹]; m/s)

Unidad de caudal en volumen: metro cúbico por segundo (m³/s o m³ · s^-1). Un metro cúbico por segundo es el caudal en volumen de una corriente uniforme tal que, una sustancia de 1 metro cúbico de volumen atraviesa una sección determinada en 1 segundo.
1 m³/s = 1 m³ / 1 s

jueves, 17 de abril de 2014

PROBLEMAS PROPUESTOS

HAY DOS PROBLEMAS PROPUESTOS. UNO ESTÁ RESUELTO CON PRESIONES RELATIVAS (PATM = 0) Y EL OTRO CON PRESIONES ABSOLUTAS (PATM = 100000 Pa). REVÍSENLOS Y TRATEN DESPUÉS DERESOLVERLOS UDS. SOLOS.

LEY DE PASCAL

Principio de Pascal

En física, el principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) que se resume en la frase: la presión ejercida en cualquier parte de un fluido incompresible y en equilibrio dentro en un recipiente de paredes indeformables, se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido.

El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la misma velocidad y por lo tanto con la misma presión.

También podemos ver aplicaciones del principio de Pascal en las prensas hidráulicas, en los elevadores hidráulicos y en los frenos hidráulicos.

Aplicaciones del principio

El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter altamente incompresible de los líquidos. En esta clase de fluidos la densidad es prácticamente constante, de modo que de acuerdo con la ecuación:

$p = p_0 + \rho g h \,$

Donde:

$p \,$ , presión total a la profundidad.

$p_0 \,$ , presión sobre la superficie libre del fluido.

$\rho \,$ , densidad del fluido.

$g \,$ , aceleración de la gravedad.

$h \,$ , Altura, medida en Metros.

viernes, 11 de abril de 2014

CÁLCULOS DE PRESIÓN

Presión en un fluido

Columna de mercurio.

La presión en un fluido es la presión termodinámica que interviene en la ecuación constitutiva y en la ecuación de movimiento del fluido, en algunos casos especiales esta presión coincide con la presión media o incluso con la presión hidrostática.

Introducción

Todas las presiones representan una medida de la energía potencial por unidad de volumen en un fluido. Para definir con mayor propiedad el concepto de presión en un fluido se distinguen habitualmente varias formas de medir la presión:

La presión media, o promedio de las presiones según diferentes direcciones en un fluido, cuando el fluido está en reposo esta presión media coincide con la presión hidrostática.
La presión hidrostática es la parte de la presión debida al peso de un fluido en reposo. En un fluido en reposo la única presión existente es la presión hidrostática, en un fluido en movimiento además puede aparecer una presión hidrodinámica adicional relacionada con la velocidad del fluido. Es la presión que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o fluido por el simple y sencillo hecho de sumergirse dentro de este. Se define por la fórmula $\scriptstyle P_h=\gamma h\,$ donde $\scriptstyle P_h\,$ es la presión hidrostática, $\gamma = \rho g\,$ es el peso específico y $\scriptstyle h$ profundidad bajo la superficie del fluido.
La presión hidrodinámica es la presión termodinámica dependiente de la dirección considerada alrededor de un punto que dependerá además del peso del fluido, el estado de movimiento del mismo.

Presión hidrostática

Un fluido pesa y ejerce presión sobre las paredes del fondo del recipiente que lo contiene y sobre la superficie de cualquier objeto sumergido en él. Esta presión, llamada presión hidrostática, provoca, en fluidos en reposo, una fuerza perpendicular a las paredes del recipiente o a la superficie del objeto sumergido sin importar la orientación que adopten las caras. Si el líquido fluyera, las fuerzas resultantes de las presiones ya no serían necesariamente perpendiculares a las superficies. Esta presión depende de la densidad del líquido en cuestión y de la altura del líquido con referencia del punto del que se mida y donde.

Se calcula mediante la siguiente expresión:

$\ P = \rho g h + P_0$

Donde, usando unidades del SI,

$\ P$ es la presión hidrostática (en pascales);
$\ \rho$ es la densidad del líquido (en kilogramos partido metro cúbico);
$\ g$ es la aceleración de la gravedad (en metros partido segundo al cuadrado);
$\ h$ es la altura del fluido (en metros). Un líquido en equilibrio ejerce fuerzas perpendiculares sobre cualquier superficie sumergida en su interior
$\ Po$ es la Presión atmosférica (en pascales)

Presión media

En un fluido en reposo la presión en un punto es constante en cualquier dirección y por tanto la presión media, promediando en todas direcciones coincide con la presión hidrostática. Sin embargo, en un fluido en movimiento no necesariamente sucede así. En un fluido cualquiera la presión media se define desde que la traza del tensor tensión del fluido:

$\bar{p} = \frac{1}{3} \mbox{tr}(\boldsymbol\sigma)$

En un fluido newtoniano la presión media coincide con la presión termodinámica o hidrodinámica en tres casos importantes:

Cuando el fluido está en reposo, en este caso, son iguales la presión media, la presión hidrostática y la presión termodinámica.
Cuando el fluido es incompresible.
Cuando la viscosidad volumétrica es nula.

En un fluido en reposo en los puntos donde el fluido está en contacto con una superficie sobre la que ejerce una presión uniforme la presión media obviamente es:

$\bar{p} = \frac{1}{3} \mbox{tr}(\boldsymbol\sigma) = \frac{F}{A}$

Donde:

^F\, es la fuerza resultante asociada a las presiones sobre dicha superficie.

^A\, es el área total de la superficie sobre la que actúan las presiones uniformemente.

Presión hidrodinámica

En un fluido en movimiento general, al medir la presión según diferentes direcciones alrededor de un punto, ésta no será constante, dependiendo la dirección donde la presión es máxima y mínima, y de la dirección y valor de la velocidad en ese punto.

De hecho en un fluido newtoniano cuya ecuación constitutiva, que relaciona el tensor tensión con el tensor velocidad de deformación:

$\sigma_{ij} = (-p+\lambda d_{kk})\delta_{ij} + 2\mu d_{ij} = \left(-p+\lambda \frac{\part v_k}{\part x_k}\right)\delta_{ij} + \mu \left( \frac{\part v_i}{\part x_j} + \frac{\part v_j}{\part x_i} \right)$